3.1. FEM for scattering problems#
For a bounded domain \(\Omega\subset\mathbb R^2\) we want to approximate the solution of the Helmholtz problem
(3.1)#\[\begin{split}\begin{aligned}
-k^2 u-\Delta u &= 0,&\text{in }\Omega,\\
u &= u_D,&\text{on } \Gamma_D,\\
\nabla u\cdot n &= u_N,&\text{on } \Gamma_N,
\end{aligned}\end{split}\]
where this time we prescribe Dirichlet boundary conditions on a part of the boundary \(\Gamma_D\subset\partial\Omega\) and Neumann boundary conditions on another part \(\Gamma_N\subset\partial\Omega,\Gamma_N\cap\Gamma_D=\emptyset\)
We choose \(\Omega = [0,1]\times[0,1]\) and \(\Gamma_N=\{0\}\times[0,1]\cup [0,1]\times\{0\}\). and set \(u_0=\exp(-20(y-1/3)^2)\) and neglect the Dirichlet boundary conditions for a start, i.e., \(\Gamma_D = \emptyset\).
Similar to the time-domain problems we generate the geometry, the mesh and the discrete space \(V\).
from ngsolve import *
from ngsolve.webgui import Draw
from netgen.occ import *
geo = OCCGeometry(unit_square.shape, dim = 2)
mesh = Mesh(geo.GenerateMesh(maxh = 0.05))
Draw(mesh);
V = H1(mesh,order = 4, complex = True)
Note that, since we approximate a complex solution, we have to add the flag complex = True. Thus the vector of a GridFunction has complex entries (stored as tuples):
gfu = GridFunction(V)
print(gfu.vec)
(0,0)
(0,0)
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As in Section 2.2 and Section 2.3 we derive the (discrete weak formulation by multiplication by test functions and partial integration to obtain
(3.2)#\[\begin{aligned}
-k^2\int_\Omega u_hu_h'+\int_\Omega\nabla u_h\cdot\nabla u'_h&=\int_{\Gamma_N} u_{h,N} u_h',
\end{aligned}\]
for all \(u_h'\in V\) where \(u_{h,N}\in V\) is an approximation of \(u_N\). We assemble the matrices choosing \(u_N=\exp(-20(x^2+y^2))\exp(20\pi(x+y))\) and solve the problem
u,v = V.TnT()
k = 15
a = BilinearForm(V)
a += (grad(u)*grad(v)-k**2*u*v)*dx
a.Assemble()
u_N = exp(-20*(x**2+y**2))
f = LinearForm(u_N*v*ds).Assemble()
gfu = GridFunction(V)
gfu.vec.data = a.mat.Inverse() * f.vec
# draw the solution
Draw (gfu, mesh, deformation=True);
# draw the gradient
Draw (grad(gfu).real, mesh, vectors = True);
Note that by default the real part of the scalar function is drawn, for the vectorial function we have to add .real to draw the vectors.
Essential boundary conditions#
Implementing dirichlet Boundary conditions works a little differently.
They are called essential boundary conditions: We have to set the solution field to the given Dirichlet values, and restrict the test-functions to 0 on the Dirichlet boundary:
\[
\text{find } u \in H^1, u = u_D \text{ on } \Gamma_D \text{ s.t. } A(u,v) = f(v) \quad \forall \, v \in H^1, v = 0 \text{ on } \Gamma_D
\]
where \(A(u,v)\) is the bilinear form from the weak formulation.
We split the solution vector into two parts: The given coefficients on the Dirichlet boundary, and all other including internal coefficients and coefficients on the natural boundaries:
\[\begin{split}
u = \left( \begin{array}{c} u_D \\ u_f \end{array} \right)
\end{split}\]
(f like free). Accordingly, the matrix and the right hand side are split as
\[\begin{split}
A = \left( \begin{array}{cc} A_{DD} & A_{Df} \\ A_{fD} & A_{ff} \end{array} \right)
\qquad
f = \left( \begin{array}{c} f_D \\ f_f \end{array} \right)
\end{split}\]
The test functions are reduced to the free nodes. Thus, the equations to solve are
\[
A_{fD} u_D + A_{ff} u_f = f_f
\]
The given \(u_D\) is moved to the right hand side, and thus
\[
u_f = {A_{ff}}^{-1} (f_f - A_{fD} u_D).
\]
It is convenient to assemble the complete matrix, invert a part of the matrix, end extend by zero:
\[\begin{split}
A^{-1,ff} :=
\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & A_{ff}^{-1} \end{array} \right)
\end{split}\]
The case of homogeneous Dirichlet boundary condtions \(u_D = 0\) is simple: We just say
\[
u = A^{-1,ff} f
\]
In NGSolve, the finite element space maintains a BitArray marking the free degrees of freedom. It is used to invert the sub-matrix:
V = H1(mesh, dirichlet="top|right", order = 5)
u,v = V.TnT()
a = BilinearForm((grad(u)*grad(v)-k**2*u*v)*dx).Assemble()
f = LinearForm(u_N*v*ds).Assemble()
gfu = GridFunction(V)
gfu.vec.data = a.mat.Inverse(V.FreeDofs()) * f.vec
Draw (gfu, mesh, deformation=True);
Non-homogeneous Dirichlet b.c. are reduced to homogeneous once as follows: Choose some function \(\widetilde u\) such that
\[
\widetilde u = u_D \quad \text{on } \Gamma_D
\]
and set \(u = \widetilde u + w\). So we have to find a correction \(w\) with \(w = 0\) on \(\Gamma_D\) and
\[
A(w,v) = f(v) - A(\widetilde u , v) \qquad \forall \, v \text{ with } v = 0 \text{ on } \Gamma_D
\]
In matrix notation, the correction \(w\) is
\[
w = A^{-1,ff} (f - A \tilde u)
\]
Now we set the Dirichlet boundary values and don’t worry about the rest. The Set - function of a GridFunction does some kind of interpolation.
uD = 0.1*exp(-20*((x-1)**2+(y-3/4)**2))
gfu.Set (uD, definedon=mesh.Boundaries("top|right"))
Draw(gfu);
Now we compute the correction
r = f.vec - a.mat * gfu.vec
gfu.vec.data += a.mat.Inverse(V.FreeDofs()) * r
Draw(gfu, mesh, deformation = True);
Draw (grad(gfu).real, mesh, vectors = True);